O enigmático problema com frações

Richard Jakubaszko 

A matemática e os números me fascinam. Seja na lógica, seja na forma, sem ela não viveríamos o mundo como o conhecemos. Meus conhecimentos sobre matemática são elementares, mas tenho especial preferência pela estatística, a qual considero como a mãe (e também madrasta) de todas as ciências. Meus problemas na matemática começam (e terminam) quando inicia o uso das letras em substituição aos números, aí vira um pandemônio em minha cabeça...

Mas as frações têm servido de inspiração para muitos problemas que são verdadeiros quebra-cabeças para os alunos e, às vezes, para os professores também. A maioria desses problemas apenas prejudica o aprendizado das crianças, causando confusão e frustração. No entanto, há também problemas criados com tanta engenhosidade que se tornam encantadores e surpreendentes. Esses podem ser apreciados por alunos mais velhos, provavelmente após a 6ª. série.

Vejamos um desses problemas. Ele tem uma história e esta tem um herói: um fictício matemático árabe chamado Beremiz Samir. Tudo se passa na época em que os matemáticos árabes eram os melhores do mundo, lá no Século X.

Nosso herói Beremiz viajava com um amigo pelo deserto, ambos montados em um único camelo, quando encontram três homens discutindo acaloradamente.

Eram três irmãos. Haviam recebido uma herança de 35 camelos do pai, sendo a metade para o mais velho, a terça parte para o irmão do meio e a nona parte para o irmão mais moço. O motivo da discussão era a dificuldade em dividir a herança: 

O mais velho receberia a metade. 

Acontece que a metade de 35 camelos corresponde a 17 camelos inteiros mais meio camelo! 

O irmão do meio receberia a terça parte, ou seja, 35 divididos por 3, o que resulta em 11 camelos inteiros mais 2/3 de camelo.

O caçula receberia a nona parte de 35 camelos, ou seja, 3 camelos inteiros e 8/9 de camelo!

Naturalmente que, cortar camelos em partes para repartir a herança seria destruí-la. Ao mesmo tempo, nenhum irmão queria ceder a fração de camelos ao outro.

Mas o sábio Beremiz resolveu o problema. Vejamos o que ele propôs: 

- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui vos trouxe.  

Os camelos agora são 36 e a divisão é fácil:

- o mais velho recebe 1/2 de 36 = 18 camelos

- o irmão do meio recebe 1/3 de 36 = 12 camelos

- o caçula recebe 1/9 de 36 = 4 camelos

Os irmãos nada têm a reclamar. Cada um deles ganha mais do que receberia antes. Todos saem lucrando. 

Todos lucraram? E nosso herói Beremiz, que perdeu um camelo?

Ouçamos de novo o nosso matemático: 

- O primeiro dos irmãos recebeu 18, o segundo, 12 e o terceiro, 4. 

O total é 18 + 12 + 4 = 34 camelos. 

Sobram, 2 camelos. Um deles pertence a meu amigo. Foi emprestado a vocês para permitir a partilha da herança, mas agora pode ser devolvido. O outro camelo que sobra, fica para mim, por ter resolvido a contento de todos este complicado problema de herança. 

Veja, amigo, que intrigante mistério! Os três irmãos lucraram e Beremiz também! Como isso é possível? De onde surgiu o camelo "a mais"?

Antes de prosseguir na leitura, pense um pouco, leia a história novamente, se necessário, e tente decifrar o mistério.

Agora, vamos à explicação. Ela é mais simples do que parece. Basta examinar a situação sob outro ponto de vista. 

Consideremos como unidade (ou total) o conjunto dos camelos que seriam divididos e vejamos se a soma das frações determinadas pelo pai equivale a 1:

1/2 + 1/3 + 1/9 = 18 + 12 + 4 divididos por 36 = 34/36

Conclusão: a herança estava mal dividida. Vejamos quantos camelos estavam incluídos na partilha inicial.

17 e 1/2 + 11 2/3 + 3 8/9 = {17 + 11 + 3} + {1/2 + 2/3 + 8/9} = 31 + 37/18 = 31 + 2 e 1/18 = 33 e 1/18 

Chegamos à conclusão de que, na partilha, estavam incluídos somente 33 camelos e 1/18 de camelo.

Quantos camelos sobravam? 

Façamos a subtração: 35 - 33 1/18 = 1 17/18

Portanto, sobravam quase 2 camelos, ou seja, 1 17/18.

É natural, então, que fosse possível dar um pouco mais a cada irmão e ainda restasse 1 camelo para pagar o hábil Beremiz.

O interessante problema acima foi extraído de uma das obras do talentoso professor de matemática e prolífico escritor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, que escreveu mais de cem obras, na primeira metade do Século XX, muitas delas abordando o lado recreativo e histórico da Matemática. 

Seu nome é, no entanto, pouco conhecido. A razão é que ele assinou a maioria de suas obras com o pseudônimo de Malba Tahan.

"O homem que calculava" é o livro mais famoso de Malba Tahan. Recomendo a leitura. Existe uma coleção completa, impressa em 1957, com 9 volumes, em capa dura (azul) encontrável apenas em sebos, deve custar mais de US$ 100.00 que valem a pena. 

Outro enigmático problema, intrigante, bem rápido: 

Três amigos entram num bar, consomem algumas bebidas e petiscos. Ao final pedem a conta ao garçom, que informa: R$ 25,00

Cada um dos amigos entrega uma nota de R$ 10,00 e o garçom, temeroso de não receber gorgeta, trouxe o troco em cinco notas de R$ 1,00

Cada amigo pegou uma nota de R$ 1,00.

Portanto, se cada amigo entregou R$ 10,00 e se cada um deles pegou R$ 1,00 de volta, cada um deles gastou R$ 9,00 certo? 3 x 9 = 27,00

Pois bem, somados aos 2,00 que deram ao garçom de gorgeta, são R$ 29,00 correto? 

Então, cadê o 1,00 real que falta aí?

Propostas de solução para este blogueiro.

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Recebi do amigo Martin Mundstock, lá de Pompéia, SP, a magia do cálculo chinês, demonstrado em vídeo. 

Diz Martin: "Compartilho do fascínio pela matemática e envio material que recebi de um amigo, ensinando o óbvio... chinês.!"

Assistam, é genial:

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